Eccoci pronte a sostenere l'esame con il nostro FANTASTICO ALBERELLO FRATTALE!!!Ormai è uno del gruppo!!!!
venerdì 8 febbraio 2008
IN BOCCA AL LUPO!!!!
Eccoci pronte a sostenere l'esame con il nostro FANTASTICO ALBERELLO FRATTALE!!!Ormai è uno del gruppo!!!!
giovedì 7 febbraio 2008
Grazie a...
Prima di scrivere la parola fine a questo diario, non possono mancare i miei grazie:
...alle mie colleghe con le quali abbiamo lavorato intensamente per raggiungere il nostro obiettivo nonostante le difficoltà logistiche;
...alla mia tutor della scuola primaria Iacopo Barozzi che mi ha elargito un intervista sincera e precisa del suo rapporto con la matematica e del suo ruolo d'insegnante della materia;
...alla mia amica Elia che nonostante la brevità dell'intervista mi ho mostrato uno spaccato reale del lavoro del geometra;
...al collega della mia amica Maria, Mauro Monti che mi ha fornito un'intervista molto analitica sui numeri;
...alla mia famiglia che non mi ha mai fatto mancare il suo supporto morale e la memoria storica;
...alle mie coinquiline che mi hanno tollerato in questo periodo!
...al professor LARICCIA per avermi permesso di guardare con occhi nuovi la matematica.
Grazie a tutti
Mariangela
...alle mie colleghe con le quali abbiamo lavorato intensamente per raggiungere il nostro obiettivo nonostante le difficoltà logistiche;
...alla mia tutor della scuola primaria Iacopo Barozzi che mi ha elargito un intervista sincera e precisa del suo rapporto con la matematica e del suo ruolo d'insegnante della materia;
...alla mia amica Elia che nonostante la brevità dell'intervista mi ho mostrato uno spaccato reale del lavoro del geometra;
...al collega della mia amica Maria, Mauro Monti che mi ha fornito un'intervista molto analitica sui numeri;
...alla mia famiglia che non mi ha mai fatto mancare il suo supporto morale e la memoria storica;
...alle mie coinquiline che mi hanno tollerato in questo periodo!
...al professor LARICCIA per avermi permesso di guardare con occhi nuovi la matematica.
Grazie a tutti
Mariangela
Cosa mi resta...
Ed eccoci giunti alla fine di questo percorso di preparazione all'esame. Oggi ho incontrato le mie colleghe per fare un riepilogo di tutti i lavori da noi svolti e dare gli ultimi ritocchi.
La domanda che mi pongo ora è: cosa mi ha dato questo corso di matematica?
Non è retorica, ma la risposta è tutta scritta nelle pagine di questo diario e nella cartella descrittiva del mio rapporto con i numeri e la geometria. Un bilancio molto positivo e questo grazie alla genielità del Prof. Lariccia che mi ha dato la possibilità di scoprire e ammirare la bellezza dei numeri!
La domanda che mi pongo ora è: cosa mi ha dato questo corso di matematica?
Non è retorica, ma la risposta è tutta scritta nelle pagine di questo diario e nella cartella descrittiva del mio rapporto con i numeri e la geometria. Un bilancio molto positivo e questo grazie alla genielità del Prof. Lariccia che mi ha dato la possibilità di scoprire e ammirare la bellezza dei numeri!
domenica 3 febbraio 2008
Ed eccoci di nuovo qui
E' giunto il momento di tirare le somme e fare un punto della situazione: il lavoro è stato fin'ora interessante e appassionante.
Ma c'è ancora tanto da scoprire...ad esempio la sezione aurea, un libro molto affascinante perché parla di un numero di cui non conoscevo l’esistenza e a questo numero ho scoperto numerosi intrecci con la natura. Ho cercato di scrivere i concetti più importanti e salienti per descrivere le varie connessioni che sono presenti nell’arte, nella musica, nella costruzione delle piramidi e dell’armonia che questo numero è presente anche nel corpo umano. Mario Livio ha esordito scrivendo:”
La sezione aurea è un libro che tratta di un numero”. Un numero molto speciale… Esiste un piccolo gruppo di numeri particolari che ricorrono spesso, attirando la nostra attenzione e la nostra curiosità. Il più noto di questi numeri è il pi greco, pari al rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio qualsiasi. Il valore di pi greco è 3,14159… ed ha affascinato generazioni di matematici. Pur essendo stato definito in un contesto geometrico, esso compare molto spesso, in modo inatteso, nel calcolo delle probabilità..
…Meno noto del pi greco è il phi, un numero per molti versi ancora più misterioso .Mario Livio descrive una serie di enigmi come:
<>, <>. Infatti nella pagina 19 Mario Livio descrive minuziosamente una comunissima mela, associata (probabilmente in modo ingiustificato) all’albero della conoscenza che il racconto biblico collega al Peccato originale. Se la si taglia da parte a parte constateremo che i semi sono disposti in modo da formare una stella a 5 punte, o pentagono stellato o pentagramma. Ebbene, in ciascuno dei 5 triangoli isosceli che formano le punte del pentagramma il rapporto della lunghezza di uno dei lati con la base è uguale alla sezione aurea 1,618.
L’autore descrive l’uso del sostantivo <<>> identificando un rapporto tra cose- o parti di esse- considerate secondo la grandezza o la quantità; oppure un rapporto tra cose o parti di esse che appaia caratterizzato da una particolare armonia.
Vediamo che il rapporto aureo è un interessante amalgama dei due significati, quello quantitativo e quello estetico, perché pur essendo definito matematicamente gli viene attribuita la capacità, se applicato a oggetti che colpiscono i sensi, di renderli piacevolmente armoniosi.
…Il rapporto aureo è uno splendido esempio di quel profondo senso di meraviglia di cui il grande Einstein attribuiva tanta importanza. Secondo Einstein,<<>>.
Marco Livio annota che il valore esatto del rapporto aureo corrispondente al numero 1,6180339887.. con infinite cifre decimali prive di sequenze ripetitive; un numero interminabile che ha incuriosito gli uomini fin dall’antichità. Infatti, nel testo l’autore racconta, che quando il matematico greco Ippaso di Metaponto scoprì, nel v secolo a.C., che il rapporto aureo non appartiene né alla famiglia degli interi ( i <<>> per antonomasia:1,2,3,..) né a quelli dei rapporti tra gli interi ( come le frazioni1/2, 2/3, 3/4,.. noti anche come <<>>), tale novità fu un vero trauma per i seguaci del leggendario Pitagora. Questo stesso numero phi, aveva già svolto una parte importante nella civiltà occidentale. Era noto come il numero aureo che gli antichi greci chiamavano proporzione divina.Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere qualsiasi linea data in due segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. La divisione della linea era detta sezione aurea, il rapporto proporzionale era la proporzione divina, e il numero con cui era possibile esprimere tale rapporto era il numero aureo. In altre parole, l'intera linea è circa 1,618034 volte più lunga del segmento più lungo, e il segmento più lungo è circa 1,618034 più lungo del segmento più corto.
Il numero phi parte dalla sequenza di uno scopritore matematico, Leonardo Pisano, detto Fibonacci, che identificò una successione numerica con proprietà particolari e curiose. La proprietà matematica di questa successione è che ogni elemento a partire dal secondo è uguale alla somma dei due precedenti. Usando questa formula è possibile estendere la sequenza all’infinito. La sequenza inizia con 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ecc… Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da Leonardo Fibonacci da Pisa, uno dei più grandi protagonisti della storia della matematica, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98.
La Sezione Aurea è nota fin dai tempi di Euclide, si ritrova in molte opere dell’uomo come canone estetico di proporzionalità, dalle piramidi ai templi greci, così come in molte forme naturali dotate di particolare armonia e simmetria, come il guscio del Nautilius.
Possiamo trovarla nell'arte di molte culture e molto spesso anche in natura. Parecchie varietà di comuni organismi marini, dal plancton alle lumache al nautilo, presentano spirali auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie. La parte inferiore delle onde del mare forma delle spirali auree, inducendo i costruttori navali a dare la stessa forma alle ancore.
Anche la maggior parte delle corna, delle zanne, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla spirale aurea, così come fanno le braccia a spirale della Via Lattea.La spirale aurea compare nella coda delle comete e nella spirale di certi ragni.
Le spirali auree si possono trovare anche nella distribuzione dei semi di molte specie di fiori, nell'ordinamento delle scaglie degli ananas.La civiltà greca classica, e in particolare le tradizioni di Pitagora e Platone, tentò di unificare tutte le arti e tutte le scienze secondo rapporti armonici che a loro avviso erano inerenti all'universo. Gli artisti e gli architetti greci facevano libero uso dei rettangoli aurei - rettangoli cioè in cui il rapporto fra il lato lungo e quello corto è il numero aureo. Essi ritenevano che quella figura fosse gradita all'anima. Se da uno spigolo di rettangolo aureo si taglia un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e la facciata dei templi. Il Partenone, sull'Acropoli di Atene, si conferma a questa regola. Anche i vasi greci e le statue che raffiguravano esseri umani erano costruiti secondo la proporzione divina. L'ombelico di una statua, per esempio, divideva l'altezza del corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento superiore veniva diviso all'altezza del collo in altri due segmenti dello stesso genere. Gli occhi, infine,dividevano in maniera analoga la testa. Anche nel rinascimento con la tradizione europea delle belle arti hanno frequentemente deliberato l’uso della proporzione divina nella forma delle tele, nelle dimensioni delle figure e in altri particolari.Anche i compositori si sono serviti di tale proporzione nelle loro partiture musicali. In questo caso, il tempo sostituisce lo spazio come dimensione da dividere. Per quel che è dato sapere, l'uso musicale della proporzione divina non fu intenzionale fino al Novecento. Ciò convalida l'idea che la proporzione è naturalmente piacevole.
In queste brevi pagine ho cercato di raccogliere gli elementi essenziali della sezione aurea che hanno costituito spunti di riflessioni e hanno alimentato la mia curiosità al fine di scoprire tutti i segreti e i misteri del numero phi.
La sezione aurea è un libro che tratta di un numero”. Un numero molto speciale… Esiste un piccolo gruppo di numeri particolari che ricorrono spesso, attirando la nostra attenzione e la nostra curiosità. Il più noto di questi numeri è il pi greco, pari al rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio qualsiasi. Il valore di pi greco è 3,14159… ed ha affascinato generazioni di matematici. Pur essendo stato definito in un contesto geometrico, esso compare molto spesso, in modo inatteso, nel calcolo delle probabilità..
…Meno noto del pi greco è il phi, un numero per molti versi ancora più misterioso .Mario Livio descrive una serie di enigmi come:
<
L’autore descrive l’uso del sostantivo <<>> identificando un rapporto tra cose- o parti di esse- considerate secondo la grandezza o la quantità; oppure un rapporto tra cose o parti di esse che appaia caratterizzato da una particolare armonia.
Vediamo che il rapporto aureo è un interessante amalgama dei due significati, quello quantitativo e quello estetico, perché pur essendo definito matematicamente gli viene attribuita la capacità, se applicato a oggetti che colpiscono i sensi, di renderli piacevolmente armoniosi.
…Il rapporto aureo è uno splendido esempio di quel profondo senso di meraviglia di cui il grande Einstein attribuiva tanta importanza. Secondo Einstein,<<>>.
Marco Livio annota che il valore esatto del rapporto aureo corrispondente al numero 1,6180339887.. con infinite cifre decimali prive di sequenze ripetitive; un numero interminabile che ha incuriosito gli uomini fin dall’antichità. Infatti, nel testo l’autore racconta, che quando il matematico greco Ippaso di Metaponto scoprì, nel v secolo a.C., che il rapporto aureo non appartiene né alla famiglia degli interi ( i <<>> per antonomasia:1,2,3,..) né a quelli dei rapporti tra gli interi ( come le frazioni1/2, 2/3, 3/4,.. noti anche come <<>>), tale novità fu un vero trauma per i seguaci del leggendario Pitagora. Questo stesso numero phi, aveva già svolto una parte importante nella civiltà occidentale. Era noto come il numero aureo che gli antichi greci chiamavano proporzione divina.Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere qualsiasi linea data in due segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. La divisione della linea era detta sezione aurea, il rapporto proporzionale era la proporzione divina, e il numero con cui era possibile esprimere tale rapporto era il numero aureo. In altre parole, l'intera linea è circa 1,618034 volte più lunga del segmento più lungo, e il segmento più lungo è circa 1,618034 più lungo del segmento più corto.
Il numero phi parte dalla sequenza di uno scopritore matematico, Leonardo Pisano, detto Fibonacci, che identificò una successione numerica con proprietà particolari e curiose. La proprietà matematica di questa successione è che ogni elemento a partire dal secondo è uguale alla somma dei due precedenti. Usando questa formula è possibile estendere la sequenza all’infinito. La sequenza inizia con 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ecc… Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da Leonardo Fibonacci da Pisa, uno dei più grandi protagonisti della storia della matematica, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98.
La Sezione Aurea è nota fin dai tempi di Euclide, si ritrova in molte opere dell’uomo come canone estetico di proporzionalità, dalle piramidi ai templi greci, così come in molte forme naturali dotate di particolare armonia e simmetria, come il guscio del Nautilius.
Possiamo trovarla nell'arte di molte culture e molto spesso anche in natura. Parecchie varietà di comuni organismi marini, dal plancton alle lumache al nautilo, presentano spirali auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie. La parte inferiore delle onde del mare forma delle spirali auree, inducendo i costruttori navali a dare la stessa forma alle ancore.
Anche la maggior parte delle corna, delle zanne, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla spirale aurea, così come fanno le braccia a spirale della Via Lattea.La spirale aurea compare nella coda delle comete e nella spirale di certi ragni.
Le spirali auree si possono trovare anche nella distribuzione dei semi di molte specie di fiori, nell'ordinamento delle scaglie degli ananas.La civiltà greca classica, e in particolare le tradizioni di Pitagora e Platone, tentò di unificare tutte le arti e tutte le scienze secondo rapporti armonici che a loro avviso erano inerenti all'universo. Gli artisti e gli architetti greci facevano libero uso dei rettangoli aurei - rettangoli cioè in cui il rapporto fra il lato lungo e quello corto è il numero aureo. Essi ritenevano che quella figura fosse gradita all'anima. Se da uno spigolo di rettangolo aureo si taglia un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e la facciata dei templi. Il Partenone, sull'Acropoli di Atene, si conferma a questa regola. Anche i vasi greci e le statue che raffiguravano esseri umani erano costruiti secondo la proporzione divina. L'ombelico di una statua, per esempio, divideva l'altezza del corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento superiore veniva diviso all'altezza del collo in altri due segmenti dello stesso genere. Gli occhi, infine,dividevano in maniera analoga la testa. Anche nel rinascimento con la tradizione europea delle belle arti hanno frequentemente deliberato l’uso della proporzione divina nella forma delle tele, nelle dimensioni delle figure e in altri particolari.Anche i compositori si sono serviti di tale proporzione nelle loro partiture musicali. In questo caso, il tempo sostituisce lo spazio come dimensione da dividere. Per quel che è dato sapere, l'uso musicale della proporzione divina non fu intenzionale fino al Novecento. Ciò convalida l'idea che la proporzione è naturalmente piacevole.
In queste brevi pagine ho cercato di raccogliere gli elementi essenziali della sezione aurea che hanno costituito spunti di riflessioni e hanno alimentato la mia curiosità al fine di scoprire tutti i segreti e i misteri del numero phi.
venerdì 1 febbraio 2008
Il metodo Montessori applicato alla matematica
In relazione alla sazione di Didattica della matematica, ho preso in esame il metodo Montessori e ho cercato di estrapolare dai suoi testi il metodo applicato alla matematica.
T06- Recensione di libri o sussidi didattici per l’apprendimento dell’aritmetica.
Il metodo Montessori applicato alla matematica
T06- Recensione di libri o sussidi didattici per l’apprendimento dell’aritmetica.
Il metodo Montessori applicato alla matematica
Diamo un nome alla parte della mente che si costruisce attraverso l’esattezza e chiamiamola MENTE MATEMATICA. Il termine è dovuto al filosofo, fisico e matematico francese Pascal.
Egli diceva che la forma della mente umana è matematica; l’apprezzamento delle cose esatte consente la conoscenza e il progresso.”
La mente del bambino cap17 pag 183
Che la mente matematica agisca sin dalla prima età della vita si vede chiaramente non solo dalle attrattive che l’esattezza aggiunge ad ogni azione del bambino, ma pure dal fatto che l’ordine è una delle più potenti e primitive
sensibilità proprie dell’inizio del periodo formativo.
La mente del bambino cap17 pag 118.
“Mente matematica” è la definizione di un carattere, cioè la sintesi di varie qualità acquisite sulla base dello sviluppo armonico di potenzialità esistenti nel bambino. Il bambino ha una particolare sensibilità all’ordine dell’ambiente che lo circonda fin dai primissimi anni di vita, sensibilità definita da Maria Montessori “periodo sensitivo dell’ordine” In questo sviluppo ogni fase è frutto della precedente, è preparazione di quella che segue; ogni fase è come il terreno destinato ad accogliere determinati semi in determinati periodi.
Il materiale sensoriale, creato con criteri matematici è una reale preparazione alla formazione della “ mente matematica”: gli incastri solidi, la serie dei blocchi, i cilindretti colorati, le aste della lunghezza, triangoli costruttori, il cubo del binomio e del trinomio sono astrazioni materializzate, palestre per lo sviluppo della mente matematica.
L’insegnamento dell’aritmetica non avviene linearmente, bensì per piani. Intorno ad un’idea centrale interessante ed importante si svolgono parallelamente le conoscenze che portano a considerare e ad approfondire l’organizzazione dei numeri secondo il sistema decimale.
Il materiale del sistema decimale permette di scoprire come funzionano le gerarchie dei numeri, concretizzate in modo straordinario e insieme semplice. Il bambino è introdotto a tutte le combinazioni possibili delle quattro operazioni grazie a numerosi materiali per la numerazione e sono essi a guidarlo verso l’astrattezza ovvero la capacità che scatta a un certo momento di calcolare mentalmente senza alcun supporto concreto.
Da una ricerca fatta su alcuni mensili “ Il quaderno Montessori”
“Senza lo sviluppo matematico-scrive Maria Montessori già nel 1939, non è possibile comprendere il progresso della nostra epoca né parteciparvi”.
E ancora:<<>>.
Dall’infanzia all’adolescenza
Il metodo montessori, non indaga la psicologia dell’apprendimento, ma promuove il processo di costruzione della mente del bambino. In tale prospettiva Psicoaritmetica è la relazione di una esperienza stimolante che, liberando i bambini dall’imparare a memoria regole che non capiscono e fornendo una visione chiara di ciò che la matematica può esprimere ha fatto amare la matematica. Nella vecchia scuola i procedimenti sono solamente dichiarati, i bambini devono impararli e non è necessario capire perché si operi in un certo modo e come un procedimento si colleghi ad un altro.
“I materiali per l’aritmetica si possono paragonare a <<>>. Per mezzo dell’analisi minuziosa realizzata sull’evidenza delle cose e mediante l’esercizio attivo, tutti i dettagli conducono allo sviluppo psichico, come se l’aritmetica fosse veramente il mezzo più pratico per un autentico trattamento psicologico del bambino, un meraviglioso cantiere di psicologia sperimentale. Ogni individuo si esercita da sé con vivo interesse, e il progresso sopraggiunge per ciascun secondo il dettame interiore provocato dalla necessità di svilupparsi. Ciò porta gli individui a differenti livelli di maturazione. Come conseguenza della libera scelta, si raggiunge un processo mentale che è logico e sistematico. In venticinque anni di esperienza vasta e ininterrotta, nelle nostre scuole nessuna materia quanto l’aritmetica entusiasmò i bambini, né in nessun’altra disciplina si sono raggiunti progressi, così sorprendenti quanto quelli nell’area della matematiche.
Psicoaritmetica pag 1
Che la mente matematica agisca fin dalla prima età della vita, si vede chiaramente non solo dalle attrattive che l’esattezza aggiunge ad ogni azione del bambino. Ma pure dal fatto che l’ordine è una delle più potenti e primitive sensibilità proprie all’inizio del pensiero formativo…
La scoperta del bambino cap 17
…Oggi l’intelligenza umana, un’intelligenza naturale, è un’intelligenza matematica e senza l’educazione e lo sviluppo matematico, non è possibile comprendere il progresso della nostra epoca, né parteciparvi….
Maria Montessori
Dall’infanzia all’adolescenza
Uno spirito senza cultura matematica, oggi è paragonabile a un uomo che ignorava l’alfabeto, al tempo in cui dominava la cultura letteraria. Allo stato naturale, lo spirito è già matematico, tende verso l’esattezza, la misura, il rapporto. L’educazione deve mirare, quindi, essenzialmente a far ordine nella mente del bambino. L’analisi dei movimenti, l’analisi della parola, il materiale sensoriale di sviluppo scientificamente esatto, quando possibile matematicamente determinato, sono tutti mezzi di formazione e di sviluppo della mente matematica. E’ questo un vero armamentario psicologico segnato dal limite, il minimo e il massimo, il contrasto, la gradazione, l’appaiamento, la classificazione, la seriazione. E’ un materiale, uno stimolo ad agire, un invito a pensare che non solo favorisce: “lo sviluppo del momento, ma facilita anche il cammino dell’avvenire…”
Quando si passi a voler far penetrare il bambino nello studio dell’aritmetica, bisogna avere dinanzi in modo chiaro, il valore delle cose che vogliamo trattare. Dobbiamo avere dinanzi la nostra conquista, il progresso che si è realizzato con il sistema in uso nel nostro tempo e nella nostra civiltà. Dobbiamo mettere la nostra conquista dinanzi al bambino nel suo valore, nella sua chiarezza, nella sua semplicità…
…Il nostro sistema, oggi, è decimale, rappresenta per ora il più recente progresso.
Il nostro compito è di non dare al bambino la possibilità di partecipare con gioia a questa conquista, dandogli cioè tutto quello che c’è di più facile e progredito, e dandolo nella sua interezza.
INTRODUZIONE ALL’ARITMETICA
Tre sono le cose da tenere presenti:
· Le nove cifre
· Lo spostamento delle nove cifre
· Il valore dello zero
Con lo spostamento delle cifre abbiamo la possibilità di rappresentare le qualità in gerarchie superiori, perché il nostro è un sistema posizionale
Tutto l’insegnamento deve consistere:
Egli diceva che la forma della mente umana è matematica; l’apprezzamento delle cose esatte consente la conoscenza e il progresso.”
La mente del bambino cap17 pag 183
Che la mente matematica agisca sin dalla prima età della vita si vede chiaramente non solo dalle attrattive che l’esattezza aggiunge ad ogni azione del bambino, ma pure dal fatto che l’ordine è una delle più potenti e primitive
sensibilità proprie dell’inizio del periodo formativo.
La mente del bambino cap17 pag 118.
“Mente matematica” è la definizione di un carattere, cioè la sintesi di varie qualità acquisite sulla base dello sviluppo armonico di potenzialità esistenti nel bambino. Il bambino ha una particolare sensibilità all’ordine dell’ambiente che lo circonda fin dai primissimi anni di vita, sensibilità definita da Maria Montessori “periodo sensitivo dell’ordine” In questo sviluppo ogni fase è frutto della precedente, è preparazione di quella che segue; ogni fase è come il terreno destinato ad accogliere determinati semi in determinati periodi.
Il materiale sensoriale, creato con criteri matematici è una reale preparazione alla formazione della “ mente matematica”: gli incastri solidi, la serie dei blocchi, i cilindretti colorati, le aste della lunghezza, triangoli costruttori, il cubo del binomio e del trinomio sono astrazioni materializzate, palestre per lo sviluppo della mente matematica.
L’insegnamento dell’aritmetica non avviene linearmente, bensì per piani. Intorno ad un’idea centrale interessante ed importante si svolgono parallelamente le conoscenze che portano a considerare e ad approfondire l’organizzazione dei numeri secondo il sistema decimale.
Il materiale del sistema decimale permette di scoprire come funzionano le gerarchie dei numeri, concretizzate in modo straordinario e insieme semplice. Il bambino è introdotto a tutte le combinazioni possibili delle quattro operazioni grazie a numerosi materiali per la numerazione e sono essi a guidarlo verso l’astrattezza ovvero la capacità che scatta a un certo momento di calcolare mentalmente senza alcun supporto concreto.
Da una ricerca fatta su alcuni mensili “ Il quaderno Montessori”
“Senza lo sviluppo matematico-scrive Maria Montessori già nel 1939, non è possibile comprendere il progresso della nostra epoca né parteciparvi”.
E ancora:<<>>.
Dall’infanzia all’adolescenza
Il metodo montessori, non indaga la psicologia dell’apprendimento, ma promuove il processo di costruzione della mente del bambino. In tale prospettiva Psicoaritmetica è la relazione di una esperienza stimolante che, liberando i bambini dall’imparare a memoria regole che non capiscono e fornendo una visione chiara di ciò che la matematica può esprimere ha fatto amare la matematica. Nella vecchia scuola i procedimenti sono solamente dichiarati, i bambini devono impararli e non è necessario capire perché si operi in un certo modo e come un procedimento si colleghi ad un altro.
“I materiali per l’aritmetica si possono paragonare a <<>>. Per mezzo dell’analisi minuziosa realizzata sull’evidenza delle cose e mediante l’esercizio attivo, tutti i dettagli conducono allo sviluppo psichico, come se l’aritmetica fosse veramente il mezzo più pratico per un autentico trattamento psicologico del bambino, un meraviglioso cantiere di psicologia sperimentale. Ogni individuo si esercita da sé con vivo interesse, e il progresso sopraggiunge per ciascun secondo il dettame interiore provocato dalla necessità di svilupparsi. Ciò porta gli individui a differenti livelli di maturazione. Come conseguenza della libera scelta, si raggiunge un processo mentale che è logico e sistematico. In venticinque anni di esperienza vasta e ininterrotta, nelle nostre scuole nessuna materia quanto l’aritmetica entusiasmò i bambini, né in nessun’altra disciplina si sono raggiunti progressi, così sorprendenti quanto quelli nell’area della matematiche.
Psicoaritmetica pag 1
Che la mente matematica agisca fin dalla prima età della vita, si vede chiaramente non solo dalle attrattive che l’esattezza aggiunge ad ogni azione del bambino. Ma pure dal fatto che l’ordine è una delle più potenti e primitive sensibilità proprie all’inizio del pensiero formativo…
La scoperta del bambino cap 17
…Oggi l’intelligenza umana, un’intelligenza naturale, è un’intelligenza matematica e senza l’educazione e lo sviluppo matematico, non è possibile comprendere il progresso della nostra epoca, né parteciparvi….
Maria Montessori
Dall’infanzia all’adolescenza
Uno spirito senza cultura matematica, oggi è paragonabile a un uomo che ignorava l’alfabeto, al tempo in cui dominava la cultura letteraria. Allo stato naturale, lo spirito è già matematico, tende verso l’esattezza, la misura, il rapporto. L’educazione deve mirare, quindi, essenzialmente a far ordine nella mente del bambino. L’analisi dei movimenti, l’analisi della parola, il materiale sensoriale di sviluppo scientificamente esatto, quando possibile matematicamente determinato, sono tutti mezzi di formazione e di sviluppo della mente matematica. E’ questo un vero armamentario psicologico segnato dal limite, il minimo e il massimo, il contrasto, la gradazione, l’appaiamento, la classificazione, la seriazione. E’ un materiale, uno stimolo ad agire, un invito a pensare che non solo favorisce: “lo sviluppo del momento, ma facilita anche il cammino dell’avvenire…”
Quando si passi a voler far penetrare il bambino nello studio dell’aritmetica, bisogna avere dinanzi in modo chiaro, il valore delle cose che vogliamo trattare. Dobbiamo avere dinanzi la nostra conquista, il progresso che si è realizzato con il sistema in uso nel nostro tempo e nella nostra civiltà. Dobbiamo mettere la nostra conquista dinanzi al bambino nel suo valore, nella sua chiarezza, nella sua semplicità…
…Il nostro sistema, oggi, è decimale, rappresenta per ora il più recente progresso.
Il nostro compito è di non dare al bambino la possibilità di partecipare con gioia a questa conquista, dandogli cioè tutto quello che c’è di più facile e progredito, e dandolo nella sua interezza.
INTRODUZIONE ALL’ARITMETICA
Tre sono le cose da tenere presenti:
· Le nove cifre
· Lo spostamento delle nove cifre
· Il valore dello zero
Con lo spostamento delle cifre abbiamo la possibilità di rappresentare le qualità in gerarchie superiori, perché il nostro è un sistema posizionale
Tutto l’insegnamento deve consistere:
· Nella conoscenza delle qualità
· Nella conoscenza dei simboli corrispondenti alle quantità
· Nel valore che le nove cifre vengono ad assumere nel sistema posizionale
L’insegnamento dell’aritmetica non avviene linearmente, ma per livelli o piani. Intorno ad un’idea centrale si svolgono parallelamente le conoscenze che partano attraverso l’analisi a considerare e ad approfondire i dettagli.
· Nella conoscenza dei simboli corrispondenti alle quantità
· Nel valore che le nove cifre vengono ad assumere nel sistema posizionale
L’insegnamento dell’aritmetica non avviene linearmente, ma per livelli o piani. Intorno ad un’idea centrale si svolgono parallelamente le conoscenze che partano attraverso l’analisi a considerare e ad approfondire i dettagli.
giovedì 31 gennaio 2008
UN GRANDE MATEMATICO: PITAGORA
Pitagora (in greco:"colui che persuade la piazza) E’ stato un matematico, legislatore e filosofo greco.
Figlio di Mnesarco, un mercante di Tiro, e Pitiade, Pitagora nacque a Samo intorno al 575 a.C.
Di famiglia sufficientemente agiata poté frequentare eccellenti maestri, i migliori cervelli del tempo: il musicista e poeta Ermodame, suo concittadino, gli scienziati Talete (ma appare poco credibile essendoci fra i due circa cinquant'anni di differenza) ed Anassimandro, entrambi di Mileto, il filosofo moralista Biante di Priene, il sacerdote Henufis. A diciotto anni fu affidato a Ferecide di Siro detto il Saggio che lo indusse ad indagare sulle leggi palesi ed occulte dei fenomeni naturali. I due viaggiarono visitando le isole del mar Egeo e l'Asia Minore, venne iniziato ai sacri misteri dei templi greci. Quando nel 548 a.C. il suo maestro morì, compì dei viaggi in Egitto e in Babilonia, durante i quali frequentò circoli sacerdotali e magici, prima di stabilirsi definitivamente a Crotone, dove fondò la scuola che prese il suo nome. Le alterne vicende politiche lo costrinsero a rifugiarsi a Metaponto, dove morì nel 490 a.C. Ma anche sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono: secondo alcuni, Pitagora, rientrato a Crotone, sarebbe vissuto fino all'età di cento anni. Si narra che un giorno Leonte, tiranno di Fliunte, chiese a Pitagora «Chi sei?» e lui gli rispose: «Sono un filosofo» e fu così che per la prima volta è stato pronunziato questo termine.
LA SCUOLA PITAGORICA
Moneta romana raffigurante Pitagora
Il più grande riconoscimento che la storia conferisce a Crotone, è la prolifica scuola pitagorica che il grande maestro greco fondò in una data stimata fra il 600 a.C. e il 500 a.C.
Secondo la leggenda il filosofo e matematico scelse questa meta per il suo ateneo per volere divino. Proveniva da Delphi laddove la leggenda racconta che avesse interpellato l'oracolo. Fu il Dio Apollo a predestinarlo a Crotone per trasmettere il suo sapere. Inoltre era a lui nota la cultura scientifico-medica, artistica e filosofica della città, e non ultimo il suo favorevole clima politico. Era infatti la tirannia a dilagare nelle altre città ioniche. Giunto a Crotone, Pitagora riuscì a guadagnarsi subito i favori del popolo grazie al suo sapere ma sappiamo che governò "aristocraticamente". Ottenne dalla città una magnifica costruzione all'interno delle mura cittadine, in marmo bianco, circondato da giardini e portici, destinata ad ospitare la scuola del maestro. Fu chiamata Casa delle Muse. In questa scuola il maestro sviluppò il suo pensiero, fra cui ricordiamo: la metempsicosi, la teoria secondo cui l'anima vive anche dopo la morte corporea; la dottrina escatologica, conseguente alla metempsicosi, secondo cui l'anima trasmigra in forme di vita diverse, perfezionandosi, fino a raggiungere Dio; il dualismo, che riguarda il cosmo e l'aria che lo circonda; la teoria secondo cui il numero è l'arché (il principio di tutte le cose); la costruzione dell'aritmetica in base 10 e il suo famoso teorema.
NUMERI E REALTA’
Pitagora sostenne che la natura ultima della realtà fosse matematica. Secondo Aristotele, i pitagorici sostenevano che "il mondo intero fosse armonia e numero". Pitagora maturò la convinzione che le cose fossero numeri (in particolare numeri dispari) dallo studio della musica, della matematica e della astronomia. In particolare, da virtuoso della lira quale era, notò come gli accordi musicali fossero esprimibili in termini di rapporti tra numeri interi. Vide la stessa armonia riflessa nell'universo e non esitò a parlare di armonia generale del cosmo. Secondo Pitagora il numero era un punto, e siccome il mondo è formato da un insieme di punti, si arriva alla conclusione che la realtà è matematica. Il numero per eccellenza è l' "1", considerato "divino". I numeri pari erano considerati indefiniti; i numeri dispari erano considerati finiti, chiusi, perfetti, ad esclusione del numero 10 che veniva considerato il "numero per eccellenza", in quanto la sua raffigurazione che avveniva per "punti" formava una figura piramidale chiamata "tetraktys".
IL TEOREMA DI PITAGORA
La chiarificazione della natura dei numeri si pose come domanda imprescindibile a Pitagora e ai suoi seguaci. Essi si interrogarono sulle proprietà dei numeri pari e dispari, dei numeri triangolari e dei numeri perfetti e lasciarono un'eredità duratura a coloro che si sarebbero occupati di matematica. Secondo il mito, a Pitagora o ai pitagorici si devono le seguenti scoperte:
la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti. Più in generale, nel caso di un poligono di n lati la somma degli angoli interni è uguale a 2n-4 angoli retti;
Una dimostrazione che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti: l'enunciato di questo teorema (ma non la sua dimostrazione), noto come teorema di Pitagora, era tuttavia conosciuto da babilonesi e indiani prima di Pitagora, e si trova anche nel Sulvasutra;
la soluzione geometrica di alcune equazioni algebriche;
la scoperta dei numeri irrazionali;
la costruzione dei solidi regolari.
Pitagora (in greco:"colui che persuade la piazza) E’ stato un matematico, legislatore e filosofo greco.
Figlio di Mnesarco, un mercante di Tiro, e Pitiade, Pitagora nacque a Samo intorno al 575 a.C.
Di famiglia sufficientemente agiata poté frequentare eccellenti maestri, i migliori cervelli del tempo: il musicista e poeta Ermodame, suo concittadino, gli scienziati Talete (ma appare poco credibile essendoci fra i due circa cinquant'anni di differenza) ed Anassimandro, entrambi di Mileto, il filosofo moralista Biante di Priene, il sacerdote Henufis. A diciotto anni fu affidato a Ferecide di Siro detto il Saggio che lo indusse ad indagare sulle leggi palesi ed occulte dei fenomeni naturali. I due viaggiarono visitando le isole del mar Egeo e l'Asia Minore, venne iniziato ai sacri misteri dei templi greci. Quando nel 548 a.C. il suo maestro morì, compì dei viaggi in Egitto e in Babilonia, durante i quali frequentò circoli sacerdotali e magici, prima di stabilirsi definitivamente a Crotone, dove fondò la scuola che prese il suo nome. Le alterne vicende politiche lo costrinsero a rifugiarsi a Metaponto, dove morì nel 490 a.C. Ma anche sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono: secondo alcuni, Pitagora, rientrato a Crotone, sarebbe vissuto fino all'età di cento anni. Si narra che un giorno Leonte, tiranno di Fliunte, chiese a Pitagora «Chi sei?» e lui gli rispose: «Sono un filosofo» e fu così che per la prima volta è stato pronunziato questo termine.
LA SCUOLA PITAGORICA
Moneta romana raffigurante Pitagora
Il più grande riconoscimento che la storia conferisce a Crotone, è la prolifica scuola pitagorica che il grande maestro greco fondò in una data stimata fra il 600 a.C. e il 500 a.C.
Secondo la leggenda il filosofo e matematico scelse questa meta per il suo ateneo per volere divino. Proveniva da Delphi laddove la leggenda racconta che avesse interpellato l'oracolo. Fu il Dio Apollo a predestinarlo a Crotone per trasmettere il suo sapere. Inoltre era a lui nota la cultura scientifico-medica, artistica e filosofica della città, e non ultimo il suo favorevole clima politico. Era infatti la tirannia a dilagare nelle altre città ioniche. Giunto a Crotone, Pitagora riuscì a guadagnarsi subito i favori del popolo grazie al suo sapere ma sappiamo che governò "aristocraticamente". Ottenne dalla città una magnifica costruzione all'interno delle mura cittadine, in marmo bianco, circondato da giardini e portici, destinata ad ospitare la scuola del maestro. Fu chiamata Casa delle Muse. In questa scuola il maestro sviluppò il suo pensiero, fra cui ricordiamo: la metempsicosi, la teoria secondo cui l'anima vive anche dopo la morte corporea; la dottrina escatologica, conseguente alla metempsicosi, secondo cui l'anima trasmigra in forme di vita diverse, perfezionandosi, fino a raggiungere Dio; il dualismo, che riguarda il cosmo e l'aria che lo circonda; la teoria secondo cui il numero è l'arché (il principio di tutte le cose); la costruzione dell'aritmetica in base 10 e il suo famoso teorema.
NUMERI E REALTA’
Pitagora sostenne che la natura ultima della realtà fosse matematica. Secondo Aristotele, i pitagorici sostenevano che "il mondo intero fosse armonia e numero". Pitagora maturò la convinzione che le cose fossero numeri (in particolare numeri dispari) dallo studio della musica, della matematica e della astronomia. In particolare, da virtuoso della lira quale era, notò come gli accordi musicali fossero esprimibili in termini di rapporti tra numeri interi. Vide la stessa armonia riflessa nell'universo e non esitò a parlare di armonia generale del cosmo. Secondo Pitagora il numero era un punto, e siccome il mondo è formato da un insieme di punti, si arriva alla conclusione che la realtà è matematica. Il numero per eccellenza è l' "1", considerato "divino". I numeri pari erano considerati indefiniti; i numeri dispari erano considerati finiti, chiusi, perfetti, ad esclusione del numero 10 che veniva considerato il "numero per eccellenza", in quanto la sua raffigurazione che avveniva per "punti" formava una figura piramidale chiamata "tetraktys".
IL TEOREMA DI PITAGORA
La chiarificazione della natura dei numeri si pose come domanda imprescindibile a Pitagora e ai suoi seguaci. Essi si interrogarono sulle proprietà dei numeri pari e dispari, dei numeri triangolari e dei numeri perfetti e lasciarono un'eredità duratura a coloro che si sarebbero occupati di matematica. Secondo il mito, a Pitagora o ai pitagorici si devono le seguenti scoperte:
la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti. Più in generale, nel caso di un poligono di n lati la somma degli angoli interni è uguale a 2n-4 angoli retti;
Una dimostrazione che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti: l'enunciato di questo teorema (ma non la sua dimostrazione), noto come teorema di Pitagora, era tuttavia conosciuto da babilonesi e indiani prima di Pitagora, e si trova anche nel Sulvasutra;
la soluzione geometrica di alcune equazioni algebriche;
la scoperta dei numeri irrazionali;
la costruzione dei solidi regolari.
PITAGORA E LA MUSICA
La scala pitagorica (a volte impropriamente chiamata temperamento pitagorico) è il sistema musicale usato nella musica antica per la costruzione della scala.
Nata in Cina ed in seguito utilizzato dai teorici giapponesi[1], la scala pitagorica fu usata (con autonoma invenzione) anche nell'antica Grecia[2], e dai trattatisti europei medievali fu attribuita a Pitagora. Essa si fonda sulla progressione degli intervalli di quinta, con trasposizione dei suoni acuti all'ottava di partenza. Per esempio, cominciando dal Do2 si costruisce la progressione delle quinte (Sol2, Re3, La3, Mi4, Si4) e si dividono per un'ottava le note che si trovano ad ottave superiori a quella di partenza (Re3 diventa Re2, La3 diventa La2, ecc.). Per ottenere il Fa si scende invece di una quinta (Fa1) e si moltiplica per un'ottava in modo da ricondursi all'ottava di partenza (Fa1 diventa Fa2).
La scala pitagorica (a volte impropriamente chiamata temperamento pitagorico) è il sistema musicale usato nella musica antica per la costruzione della scala.
Nata in Cina ed in seguito utilizzato dai teorici giapponesi[1], la scala pitagorica fu usata (con autonoma invenzione) anche nell'antica Grecia[2], e dai trattatisti europei medievali fu attribuita a Pitagora. Essa si fonda sulla progressione degli intervalli di quinta, con trasposizione dei suoni acuti all'ottava di partenza. Per esempio, cominciando dal Do2 si costruisce la progressione delle quinte (Sol2, Re3, La3, Mi4, Si4) e si dividono per un'ottava le note che si trovano ad ottave superiori a quella di partenza (Re3 diventa Re2, La3 diventa La2, ecc.). Per ottenere il Fa si scende invece di una quinta (Fa1) e si moltiplica per un'ottava in modo da ricondursi all'ottava di partenza (Fa1 diventa Fa2).
martedì 29 gennaio 2008
La mia intervista al Dott. Monti, manager di Vodafone Italia
T03- Il genio della porta accanto
L’intervista è stata rivolta al Dott. Mauro Monti, Business Commercial Planning&Analisys Manager di Vodafone Italia, Milano.
1. Che tipo di studi ha fatto?
Liceo scientifico e università ‘L. Bocconi’ di Milano con indirizzo economico.
2. Come è nata la sua passione per i numeri?
E’ nata studiando i bilanci e poi con il lavoro, rendendomi conto di come i numeri “parlassero” e di come si possa aggregarli in modo da ottenere, o non far emergere, informazioni.
3. Che ruolo pensa possano avere le nuove tecnologie nello studio di questa disciplina ?
Un ruolo importante sia per la velocità di calcolo e di elaborazione, sia per la possibilità di elaborare incroci sempre più articolati e sia per la possibilità di condividere velocemente informazioni e teorie.
4. Quali progetti e modalità di studio pensa possano essere utili per avvicinare i giovani allo studio della materia?
Possibilmente modalità divertenti che cerchino di appassionare i giovani. Ad esempio l’utilizzo della teoria dei giochi matematici
5. Quale e' la correlazione tra creatività e numero?
Il numero è più correlato con la logica che con la creatività. Tuttavia in tutte le situazioni in cui i numeri devono essere “parlanti” la creatività diventa importante purché sia sempre racchiusa all’interno di regole definite. Ad esempio, nel modo di esporre risultati finanziari o economici organizzare i numeri in un certo modo può essere più efficiente, oppure trovare soluzioni particolari senza cadere nella finanza creativa. Per certi aspetti anche gli scienziati, che basandosi su formule numeriche scoprono nuove teorie scientifiche, utilizzano la creatività nei vincoli imposti dalle regole dei numeri.
L’intervista è stata rivolta al Dott. Mauro Monti, Business Commercial Planning&Analisys Manager di Vodafone Italia, Milano.
1. Che tipo di studi ha fatto?
Liceo scientifico e università ‘L. Bocconi’ di Milano con indirizzo economico.
2. Come è nata la sua passione per i numeri?
E’ nata studiando i bilanci e poi con il lavoro, rendendomi conto di come i numeri “parlassero” e di come si possa aggregarli in modo da ottenere, o non far emergere, informazioni.
3. Che ruolo pensa possano avere le nuove tecnologie nello studio di questa disciplina ?
Un ruolo importante sia per la velocità di calcolo e di elaborazione, sia per la possibilità di elaborare incroci sempre più articolati e sia per la possibilità di condividere velocemente informazioni e teorie.
4. Quali progetti e modalità di studio pensa possano essere utili per avvicinare i giovani allo studio della materia?
Possibilmente modalità divertenti che cerchino di appassionare i giovani. Ad esempio l’utilizzo della teoria dei giochi matematici
5. Quale e' la correlazione tra creatività e numero?
Il numero è più correlato con la logica che con la creatività. Tuttavia in tutte le situazioni in cui i numeri devono essere “parlanti” la creatività diventa importante purché sia sempre racchiusa all’interno di regole definite. Ad esempio, nel modo di esporre risultati finanziari o economici organizzare i numeri in un certo modo può essere più efficiente, oppure trovare soluzioni particolari senza cadere nella finanza creativa. Per certi aspetti anche gli scienziati, che basandosi su formule numeriche scoprono nuove teorie scientifiche, utilizzano la creatività nei vincoli imposti dalle regole dei numeri.
Iscriviti a:
Commenti (Atom)
